【受験数学】くじ引き(非復元抽出)の解き方を徹底解説！！【確率】(例題つき)

今回は大学入試の数学でも良く出題されるくじ引きの確率の問題について、その解き方を解説していきます。

くじ引きの問題は確率の中でも非復元抽出という分野に位置付けられており、独立試行の問題とは解法が異なります。

しかし、受験生の多くは独立試行の問題と同じ解法を用いてしまっており、意外と非復元抽出（くじ引き）の問題に対する解法を知らない人が多いのではないかと思います。

そこで今回は、このくじ引きの問題の解法を丁寧に解説していきます！

まずは例題を挙げておきます。

(例題)
当たりのくじが2枚、外れのくじが10枚入った袋がある。この袋の中から、A君、B君、C君の3人がこの順に1枚ずつ引いていき、引いたくじは元に戻さない。
この試行を2枚のくじが両方とも取り出されるまで繰り返すとき、以下の問いに答えよ。
（＊ただし、一度当たりを引いた人も、順にくじを引き続けるものとする）
(1) A君、B君、C君が1度目の試行で当たりを引く確率をそれぞれ求めよ。
(2) B君が2枚の当たりを両方とも引く確率を求めよ。
(3) A君とB君が当たりを引く確率を求めよ。

このようなくじ引きの問題ですが、実は独立試行の問題とは違った解法を用います。

ここではまず、くじ引き（非復元抽出）の問題を解く解法について概要を説明した後、上の例題を用いて具体的に解説していきます！

くじ引き（非復元抽出）の問題を解く定番の解法
例題を用いた解説
まとめ

くじ引き（非復元抽出）の問題を解く定番の解法

くじ引きの問題を解く場合は、独立試行の問題とは違い、場合の数の考え方を用い、全てのものの順列として解きます。

そして、並び替えたものを左から順に取り出していくと考えることで、擬似的に非復元抽出の状況を再現するというわけです。

ここでのポイントは、実際の問題設定では途中でくじを取り出すことをやめるとしても、計算上はすべてのくじを取り出すものとして扱う、ということです。

具体的には

$(求める確率) = \cfrac{(求める事象)}{(全事象)}$

として計算します。

独立試行の問題では、各試行の結果が互いの確率に影響を与えないので、確率の積として計算していました。

これが独立試行との解法の違いです。

例題を用いた解説

それではここからは、上の例題を用いて具体的に解説していきます。

(1) A君、B君、C君が1度目の試行で当たりを引く確率をそれぞれ求めよ。

この問題については、独立試行の問題の解法である、確率の積として計算する方法と、非復元抽出の本来の解法である、順列を用いた解法の2通りの解法を比較して見ましょう。

まずは独立試行の解法からです。

＜確率の積として計算する＞

・A君が当たりを引く確率について

12枚中、当たりのくじは2枚なので、

$(A君が当たりを引く確率) = \cfrac{2}{12} \\ \hspace{5cm} = \cfrac{1}{6}$

となります。

・B君が当たりを引く確率について

「A君が当たりを引き、B君も当たりを引く」

「A君が外れを引き、B君が当たりを引く」

ときなので、

$(B君が当たりを引く確率) = \cfrac{2}{12}\cdot\cfrac{1}{11} + \cfrac{10}{12}\cdot\cfrac{2}{11} \\ \hspace{5cm} = \cfrac{1}{6}$

となります。

・C君が当たりを引く確率について

「A君が当たり、B君は外れを引き、C君が当たりを引く」

「A君が外れ、B君が当たりを引き、C君が当たりを引く」

「A君、B君が外れを引き、C君が当たりを引く」

ときなので、

$(C君が当たりを引く確率) = \cfrac{2}{12}\cdot\cfrac{10}{11}\cdot\cfrac{1}{10} + \cfrac{10}{12}\cdot\cfrac{2}{11}\cdot\cfrac{1}{10} + \cfrac{10}{12}\cdot\cfrac{9}{11}\cdot\cfrac{2}{10} \\ \hspace{5cm} = \cfrac{1}{6}$